MÜKEMMEL SAYI NEDİR?
Kendisi hariç bütün pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayılara mükemmel sayı denir. 6 bir mükemmel sayıdır. Çünkü 6'nın pozitif bölenleri 1,2,3 ve 6'dır. Kendisi hariç diğer bölenlerini toplarsak 1+2+3=6 eder. Bunun gibi 28 de mükemmel sayıdır.

28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

MÜKEMMEL SAYILAR ÜZERİNE BİR ALGORİTMA
Nikomakus'un bahsettiği ancak Öklid'in ispat ettiği bir algoritma bazı çift mükemmel sayıları bulmamıza yardımcı oluyor. Bu algoritma şu şekildedir. 2'nin bir asal kuvvetinin 1 eksiği asal ise (bunlara Mersenne Asalları diyoruz) bu sayı ile 2'nin bir önceki kuvvetinin çarpımı mükemmel sayıdır.

Mükemmel sayı bulma formülü = 2p−1(2p−1) Formüldeki p ve (2p−1) sayıları asal sayı olmalıdır. Buna göre ilk dört mükemmel sayı şunlardır: p = 2 için: 21(22−1) = 6 p = 3 için: 22(23−1) = 28 p = 5 için: 24(25−1) = 496 p = 7 için: 26(27−1) = 8128. Mükemmel sayı bulmak için genel bir formül yoktur ancak yukarıda verilen formülle elde edilen sayılar birer mükemmel sayıdır. Formülden de anlaşılacağı üzere buradan bulunan mükemmel sayılar hep çifttir. Bu formülle hesaplanan mükemmel sayılar arasında başka mükemmel sayılar var mıdır şu an için bilinmiyor. Ayrıca tek mükemmel sayıların varlığı veya yokluğu kanıtlanamamıştır.

BİR ÖZELLİK DAHA Mükemmel sayıların pozitif bölenlerinin çarpmaya göre terslerinin toplamı 2'dir. Örnek olarak 6 mükemmel sayısını verelim. Pozitif çarpanları olan 1, 2, 3, 6'nın çarpmaya göre terslerini toplarsak: 1 + 1/2 + 1/3 + 1/6 = 2

BİRKAÇ MÜKEMMEL SAYI Yukarıdaki yöntemi kullanan modern çağın bilgisayarları 34 milyondan fazla basamağı olan mükemmel sayılar keşfettiler. İşte size ilk 15 mükemmel sayı

* 6,
* 28,
* 496,
* 8128,
* 33550336,
* 8589869056,
* 137438691328,
* 2305843008139952128,
* 2658455991569831744654692615953842176,
* 191561942608236107294793378084303638130997321548169216,
* 131640364585696483372397534604587229102234723183869431 17783728128,
* 144740111546645244279463731260859884815736774914748358 89066354349131199152128,
* 235627234572673470657895489967099049884775478583926007 1014302759750633728317862223973036553960260056136025556 6462503270175052892578043215543382498428777152427010394 4969186640286445341280338314397902368386240331714359223 5664321970310172071316352748729874740064780193958716593 6401087419375649057918549492160555646976,
* 14105378370671206906320795808606318988148674351471566 7838838675999954867742652380114104193329037690251561950 5687098293271640877243663700871167312681593136524874506 5243980587729620729744672329516665822884692680778665287 0188920867879451478364569313922060370695064736073572378 6951764730552668262532848863837150729743244638353000531 38429460296575143368065570759537328128,
* 54162526284365847412654465374391316140856490539031695 7846039208183872069941585348591989999210567199219190573 9008026364615928001382760543974626278890305730344550582 7028395139475207769044924431494861729435113126280837904 9304627406817179604658673487209925721905694655452996299 1982343103109262424446354778963544148139171981644160558 6788092147886677321398756661624714551726964302217554281 7842548173196119516598555535739377889234051462223245067 1597919375737282086087821432205222758453755289747625617 9395176624426314480313446935085203657584798247536021172 8804037830486028736212593137899949003366739415037472249 6698402824080604210869007767039525923189466627361521277 5603535764707952250173858305171028603021234896647851363 949928904973292145107505979911456221519899345764984291328,

* * * * * * *


Çift mükemmel sayılar

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda p ve 2p−1 sayıları asal sayı olmak koşuluyla şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: 2p−1(2p−1). Buna göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2: 21(22−1) = 6
p = 3: 22(23−1) = 28
p = 5: 24(25−1) = 496
p = 7: 26(27−1) = 8128.

2p−1(2p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardan biri olabilir:

p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609.

Bu sayılar arasında başka mükemmel sayılar (çift veya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.

Tek mükemmel sayılar

Tek mükemmel sayıların varlığı veya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır. Ama hiç olmadıkları veya olabildiğince az oldukları düşünülmektedir.

* * * * * *




1.Mükemmel Sayılar:
Mükemmel sayı terimini ilk olarak Pisagor ortaya atmıştır. Pisagor’a göre sayılsa mükemmellik, bir sayının bölenleriyle ilgiliydi. Mesela en önemli ve en “mükemmel” sayılar, bölenlerinin toplamı kendine eşit olan sayılardır. İşte böyle sayılara, yani bölenlerinin toplamı kendisini veren sayılara mükemmel sayılar deniyor.

* 6 sayısı bir mükemmel sayıdır. 6 sayısının bölenleri: 1, 2 ve 3’tür.
1+2+3=6

* Bir sonraki mükemmel sayımız 28’dir. 28 sayısının bölenleri: 1, 2, 4, 7 ve 14’tür.
1+2+4+7+14=28

* Üçüncü mükemmel sayı 496, dördüncüsü ise 8128’dir.
Sayılar büyüdükçe mükemmel sayıları bulmak daha da zorlaşır.

Mükemmel sayıların yetenekleri sadece bölenleri toplamlarına eşit olmasıyla sınırlı değildir; mükemmel sayılar, daima birbirini izleyen bir dizi sayma sayısının toplamına eşittir. Aşağıdaki örnekten bunu inceleyebiliriz;

6 = 1+2+3
28 = 1+2+3+4+5+6+7
496 = 1+2+3+4+………+30+31
8128 = 1+2+3+………..+126+127

Pisagor’dan sonra Öklid mükemmel sayıların bir özelliğini daha keşfetti; tüm mükemmel sayılar iki çarpana ayrılabiliyordu. Bunlardan bir tanesi 2’nin kuvveti iken, diğeri (ikinin bir sonraki kuvveti – 1’di)

6 = 2^1 . ( 2^2 – 1)

28 = 2^2 . ( 2^3 – 1)

496 = 2^3 . ( 2^4 – 1)

.
.
.

Bu yöntemi kullanarak sınırsız sayıda mükemmel sayı bulabiliriz.
Örneğin;

2^8 . ( 2^9 – 1) = bir mükemmel sayı verir.

2. Friedman sayıları:
Elimizde bir tam sayı olsun. Eğer sadece toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs alma işlemlerini kullanarak sayının rakamlarından, kendisini elde edebiliyorsak bu sayı Friedman sayısıdır.

25 = (5^2 ) , 121 = (11^2 ) , 126 = (6.21)

En ilginç Friedman sayıları 123456789 ve 987654321 sayılarıdır;

987654321 = [8.(97+6/2)^5 +1] / 3^4

123456789 = [(86+2.7)^5 – 91] / 3^4

3.Strobogramatik Sayılar (SG sayıları):
Fiziksel olarak 180 derece ters çevrildiklerinde herhangi bir değer değişikliği yaşamayan sayılara SG sayılar denir. Örneğin; 0, 1, 8, 11, 69, 88, 96… sayıları SG sayılardır. SG sayılardan biraz daha ilginç olanı SG eşitlikleridir. Eğer bir eşitlik SG özelliğini sağlıyorsa, eşitliğin işlem tarafı 180 derece çevrildiğinde eşitlik yine aynı sonucu verecektir. Mesela; (68+68+61) = 197’dir. Şimdi eşitliğin işlem tarafını 180 derece çevirelim: ( 89+89+19) = yine 197’ dir.

Yani; ( 68+68+68 ) = (89+89+19)

Bunlar dışında üs alma işlemi de SG eşitliği yaratmada kullanılabilir;

9^(9-6) = (9-6)^6

Son olarak işte birkaç SG eşitliği;

(91-16+8) = (8+91-16)
(98+18+19) = (61+81+86)

4.Palindromik Sayılar:
Palindromik sayılar, sağdan-sola doğru ve soldan-sağa doğru okunduklarında değer değişikliği yaşamayan sayılardır.

1881, 1991, 1001, 10001, 12621, 79388397, 82954345928…….

5.Üçgen Sayılar:
1’den başlamak üzere kendisinden önceki tüm sayıların toplamına karşılık gelen sayıların dizisidir.

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14….. pozitif doğal sayılar ise üçgen sayılar; 1,3,6,10,15… dir.
1
3 = (1+2) [resim1]
6 = (1+2+3)
10 = (1+2+3+4)
15 = (1+2+3+4+5)
.
.
.

6. 37 sayısındaki sihir:
37 sayısı matematikte 23 ile birlikte belki de en güzel ahenk ve eşitlikleri veren sayıdır. İşte bir örnek;

37. 3 = 111
37. 6 = 222
37. 9 = 333
37.12 = 444
.
.
.
37.27 = 999

Yukarıda gördüğümüz gibi sayımız 3 ve 3’ün katlarıyla çarpıldığında ilginç bir tablo oluşuyor. 37 sayısının özellikleri bununla sınırlı değil;

37. (3+7) = 3^3 + 7^3 Sayıların kendi içlerinde yarattığı uyum gerçekten şaşırtıcı ve mükemmel.

3^2 . 7^3 – 3.7 =37

Tüm bunlarla birlikte 37 sayısının belki de en güzel özelliğini Ramunujan bulmuştur;

037, 370, 703 (1, 10, 19) Parantez içindeki sayıların sırasıyla 37 ile çar-
074, 407, 740 (2, 11, 20) pımından yine sırasıyla soldaki sayılar oluşuyor.
148, 481, 814 (4, 13, 22) Dikkat ederseniz soldaki sayıların rakamları aynı,
185, 518, 851 (5, 14, 23) sadece yerleri değişiktir. Parantez içindeki sayıların
259, 592, 925 (7, 16, 25) arasında ise 9’ar fark vardır.
296, 629, 962 (8, 17, 26)

İlginç eşitlikler:
12.42 = 21.24
23.96 = 32.69
24.84 = 42.48
13.62 = 31.26
46.96 = 64.69

1 . 8 + 1 = 9
12 . 8 + 2 = 98
123 . 8 + 3 = 987
1234 . 8 + 4 = 9876
12345 . 8 + 5 = 98765
123456 . 8 + 6 = 987654
1234567 . 8 + 7 = 9876543
12345678 . 8 + 8 = 98765432
123456789 . 8 + 9 = 987654321

1 . 9 + 2 = 11
12 . 9 + 3 = 111
123 . 9 + 4 = 1111
1234 . 9 + 5 = 11111
12345 . 9 + 6 = 111111
123456 . 9 + 7 = 1111111
1234567 . 9 + 8 = 11111111
12345678 . 9 + 9 = 111111111
123456789 . 9 +10= 1111111111

9 . 9 + 7 = 88
98 . 9 + 6 = 888
987 . 9 + 5 = 8888
9876 . 9 + 4 = 88888
98765 . 9 + 3 = 888888
987654 . 9 + 2 = 8888888
9876543 . 9 + 1 = 88888888
98765432 . 9 + 0 = 888888888

1+2 = 3
4+5+6 = 7+8
9+10+11+12 = 13+14+15
16+17+18+19+20 = 21+22+23+24
25+26+27+28+29+30 = 31+32+33+34+35

* * * * * * *
Soru:Kendisi hariç bütün pozitif çarpanları (tam bölenleri) toplamı, yine kendisine eşit olan sayılara “mükemmel sayı” denir. Örneğin 6=1+2+3, 28=1+2+4+7+14 birer mükemmel sayıdır. Buna göre klavyeden girilen bir tamsayının “mükemmel sayı” olup olmadığını kontrol eden programı yazınız.

using System;
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks; namespace ConsoleApplication9
{ class Program
{ static void Main(string[] args)
{ int sayi; Console.WriteLine("Sayıyı Giriniz");
sayi = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());
int toplam = 0;
for (int i = 1; i <= sayi / 2; i++)
{ if (sayi % i == 0)
{
toplam = toplam + i;
}
}
if (sayi == toplam) { Console.WriteLine("Girdiğiniz Sayı Bir Mükemmel Sayıdır"); }
else { Console.WriteLine("Girdiğiniz Sayı Bir Mükemmel Sayı Değildir"); } Console.ReadKey(); } } }


* * * * * * * *
DİĞER BİR PROGRAM

CLS
PRINT "GIRILEN SAYININ MUKEMMEL SAYI OLUP OLMADIGINI BULAN PROGRAM"
F = 0
INPUT " SAYI ="; N
FOR I = 2 TO N
K = N / I
IF K = INT(K) THEN
F = F + K
END IF
NEXT I
IF F = N THEN
PRINT " MUKEMMEL SAYI"
ELSE
PRINT "MUKEMMEL SAYI DEGIL"
END IF

* * * * * *

C++ İLE YAZILAN PROGRAM.